共形對稱

在數學物理和共形場論中，時空的共形對稱包括時空的龐加萊群。

共形群有15個自由度：

• 龐加萊群：10
• 特殊共形變換：4
• 位似變換：1

共形群

時空共形群有下面的表示：

${\begin{aligned}&M_{\mu \nu }\equiv i(x_{\mu }\partial _{\nu }-x_{\nu }\partial _{\mu })\,,\\&P_{\mu }\equiv -i\partial _{\mu }\,,\\&D\equiv -ix_{\mu }\partial ^{\mu }\,,\\&K_{\mu }\equiv i(x^{2}\partial _{\mu }-2x_{\mu }x_{\nu }\partial ^{\nu })\,,\end{aligned}}$

龐加萊群：$M_{\mu \nu }$是勞侖茲群的生成集合、$P_{\mu }$ 生成平移

$D$ 生成位似變換

$K_{\mu }$ 生成特殊形轉換

交換子

交換子是：

${\begin{aligned}&[D,K_{\mu }]=-iK_{\mu }\,,\\&[D,P_{\mu }]=iP_{\mu }\,,\\&[K_{\mu },P_{\nu }]=2i(\eta _{\mu \nu }D-M_{\mu \nu })\,,\\&[K_{\mu },M_{\nu \rho }]=i(\eta _{\mu \nu }K_{\rho }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu })\,,\\&[P_{\rho },M_{\mu \nu }]=i(\eta _{\rho \mu }P_{\nu }-\eta _{\rho \nu }P_{\mu })\,,\\&[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i(\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho })\,,\end{aligned}}$

舉例（特殊共形變換）：

$x^{\mu }\to {\frac {x^{\mu }-a^{\mu }x^{2}}{1-2a\cdot x+a^{2}x^{2}}}$

${\frac {{x}'^{\mu }}{{x'}^{2}}}={\frac {x^{\mu }}{x^{2}}}-a^{\mu },$

平面格子

特殊共形變換後

應用

• 共形場論、場 (物理)
• 普遍性、相變
• 二維湍流、雷諾數
• 粒子物理學、N=4超對稱楊-米爾斯的理論、世界面、弦理論

相關條目

• 共形映射
• 共形群（推廣）
• 重整化群