共形对称

在数学物理和共形场论中，时空的共形对称包括时空的庞加莱群。

共形群有15个自由度：

• 庞加莱群：10
• 特殊共形变换：4
• 位似变换：1

共形群

时空共形群有下面的表示：

${\begin{aligned}&M_{\mu \nu }\equiv i(x_{\mu }\partial _{\nu }-x_{\nu }\partial _{\mu })\,,\\&P_{\mu }\equiv -i\partial _{\mu }\,,\\&D\equiv -ix_{\mu }\partial ^{\mu }\,,\\&K_{\mu }\equiv i(x^{2}\partial _{\mu }-2x_{\mu }x_{\nu }\partial ^{\nu })\,,\end{aligned}}$

庞加莱群：$M_{\mu \nu }$是劳仑兹群的生成集合、$P_{\mu }$ 生成平移

$D$ 生成位似变换

$K_{\mu }$ 生成特殊形转换

交换子

交换子是：

${\begin{aligned}&[D,K_{\mu }]=-iK_{\mu }\,,\\&[D,P_{\mu }]=iP_{\mu }\,,\\&[K_{\mu },P_{\nu }]=2i(\eta _{\mu \nu }D-M_{\mu \nu })\,,\\&[K_{\mu },M_{\nu \rho }]=i(\eta _{\mu \nu }K_{\rho }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu })\,,\\&[P_{\rho },M_{\mu \nu }]=i(\eta _{\rho \mu }P_{\nu }-\eta _{\rho \nu }P_{\mu })\,,\\&[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i(\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho })\,,\end{aligned}}$

举例（特殊共形变换）：

$x^{\mu }\to {\frac {x^{\mu }-a^{\mu }x^{2}}{1-2a\cdot x+a^{2}x^{2}}}$

${\frac {{x}'^{\mu }}{{x'}^{2}}}={\frac {x^{\mu }}{x^{2}}}-a^{\mu },$

平面格子

特殊共形变换后

应用

• 共形场论、场 (物理)
• 普遍性、相变
• 二维湍流、雷诺数
• 粒子物理学、N=4超对称杨-米尔斯的理论、世界面、弦理论

相关条目

• 共形映射
• 共形群（推广）
• 重整化群