初拓撲

在一般拓撲學與數學的相關領域中，給定集合$X$與$X$上的一族函數，其初拓撲（initial topology）是使得這一族函數連續的最粗糙拓撲。

子空間拓撲與積拓撲都是初拓撲的特例。事實上，初拓撲可以看作是這兩種結構的推廣。

與初拓撲對偶的結構稱為終拓撲。

定義

定義 — $X$ 為集合，設有一集合族 ${\mathcal {Y}}$ 與其指標集 $I$ ：

$I\,{\overset {Y}{\cong }}\,{\mathcal {Y}}$

還有一族與之相對應的拓撲 ${\mathfrak {T}}$ ：

$I\,{\overset {\tau }{\cong }}\,{\mathfrak {T}}$

$(\forall i\in I)\left[\tau _{i}{\text{ is a topology of }}Y_{i}\right]$

和一函數族 ${\mathcal {F}}$ ：

$I\,{\overset {f}{\cong }}\,{\mathcal {F}}$

$(\forall i\in I)\left(f_{i}:X\to Y_{i}\right)$

那 $X$ 上關於 ${\mathcal {F}}$ 的初拓撲 $\tau _{\mathcal {F}}$，定義為「對所有 $i\in I$ ， $f(i)$ 為 $\tau _{\mathcal {F}}$ - $\tau _{i}$ 連續」的最粗糙拓撲。

定理 — 若 $\tau _{\mathcal {F}}$ 是上述定義所說， $X$ 上關於 ${\mathcal {F}}$ 的初拓撲，取：

${\mathcal {B}}:=\left\{B\,|\,(\exists i\in I)(\exists O\in \tau _{i})[B={f_{i}}^{-1}(O)]\right\}$

那 ${\mathcal {B}}$ 是 $X$ 的拓撲基，且 $\tau _{\mathcal {F}}$ 就是由 ${\mathcal {B}}$ 所生成的拓撲。

證明

因為： $(\forall i\in I)\{[X=f^{-1}(Y_{i})]\wedge (Y_{i}\in \tau _{i})\}$ 所以： $\left(X=\bigcup \{X\}\right)\wedge (\{X\}\subseteq {\mathcal {B}})$ 另外對於任意$i\in I$，和任意 $V,W\in \tau _{i}$ 有： ${f_{i}}^{-1}(V\cap W)={f_{i}}^{-1}(V)\cap {f_{i}}^{-1}(W)$ 這樣，因為 $V\cap W\in \tau _{i}$ ，所以： ${f_{i}}^{-1}(V)\cap {f_{i}}^{-1}(W)\in {\mathcal {B}}$ 根據以上所述， ${\mathcal {B}}$ 的確是 $X$ 的拓撲基。 另外，對任意 $X$ 上的拓撲 $\tau$ 來說，「對所有 $i\in I$ ， $f(i)$ 為 $\tau$ - $\tau _{i}$ 連續」等價於： 「對所有 $i\in I$ ，和所有 $O\in \tau _{i}$ ， ${f_{i}}^{-1}(O)\in \tau$」 也就等價於： ${\mathcal {B}}\subseteq \tau$ 這樣根據拓撲基的性質(1)，$\tau _{\mathcal {F}}$ 就是 ${\mathcal {B}}$ 所生成的拓撲，至此本定理得證。$\Box$

上述拓撲基 ${\mathcal {B}}$ 裏的元素通常被稱為圓柱集合（cylinder set）。

實例

• 子空間拓撲是在子空間上，關於包含映射的初拓撲。
• 積拓撲是關於一族投影映射的初拓撲。
• 局部凸拓撲向量空間的弱拓撲是關於映射至其對偶空間的連續線性算子的初拓撲。

性質

特徵性質

給出任意拓撲空間$Z$，X上的初拓撲依照上面所給的定義。則有以下性質成立：
從$Z$到$X$的映射$g$是連續的，若且唯若 $f_{i}\circ g$ 是連續的。

從閉集分離點

稱$f_{i}:X\rightarrow Y_{i}$從閉集分離點，如果$X$中任意閉集$A$，與任意不屬於$A$的點$x$，$\exists i\in I$，使得
$f_{i}(x)\notin \operatorname {cl} (f_{i}(A))$
這裏的cl是閉包算子。

關於初拓撲有如下定理：
一族連續映射從閉集分離點，若且唯若the cylinder sets構成集合$X$的一個基。

從這個定理可以得到，如果$X$上有一族連續映射從閉集分離點，那麼關於這族映射就存在一個初拓撲。反之是不成立的，因為初拓撲是由$f^{-1}(U)$為子基生成的拓撲，在這個定理中要求the cylinder sets是集合$X$的一個基。

參考資料

• Willard, Stephen. General Topology. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. 1970. ISBN 0-486-43479-6. 
• Initial topology. PlanetMath. 
• Product topology and subspace topology. PlanetMath.