初拓扑

在一般拓扑学与数学的相关领域中，给定集合$X$与$X$上的一族函数，其初拓扑（initial topology）是使得这一族函数连续的最粗糙拓扑。

子空间拓扑与积拓扑都是初拓扑的特例。事实上，初拓扑可以看作是这两种结构的推广。

与初拓扑对偶的结构称为终拓扑。

定义

定义 — $X$ 为集合，设有一集合族 ${\mathcal {Y}}$ 与其指标集 $I$ ：

$I\,{\overset {Y}{\cong }}\,{\mathcal {Y}}$

还有一族与之相对应的拓扑 ${\mathfrak {T}}$ ：

$I\,{\overset {\tau }{\cong }}\,{\mathfrak {T}}$

$(\forall i\in I)\left[\tau _{i}{\text{ is a topology of }}Y_{i}\right]$

和一函数族 ${\mathcal {F}}$ ：

$I\,{\overset {f}{\cong }}\,{\mathcal {F}}$

$(\forall i\in I)\left(f_{i}:X\to Y_{i}\right)$

那 $X$ 上关于 ${\mathcal {F}}$ 的初拓扑 $\tau _{\mathcal {F}}$，定义为“对所有 $i\in I$ ， $f(i)$ 为 $\tau _{\mathcal {F}}$ - $\tau _{i}$ 连续”的最粗糙拓扑。

定理 — 若 $\tau _{\mathcal {F}}$ 是上述定义所说， $X$ 上关于 ${\mathcal {F}}$ 的初拓扑，取：

${\mathcal {B}}:=\left\{B\,|\,(\exists i\in I)(\exists O\in \tau _{i})[B={f_{i}}^{-1}(O)]\right\}$

那 ${\mathcal {B}}$ 是 $X$ 的拓扑基，且 $\tau _{\mathcal {F}}$ 就是由 ${\mathcal {B}}$ 所生成的拓扑。

证明

因为： $(\forall i\in I)\{[X=f^{-1}(Y_{i})]\wedge (Y_{i}\in \tau _{i})\}$ 所以： $\left(X=\bigcup \{X\}\right)\wedge (\{X\}\subseteq {\mathcal {B}})$ 另外对于任意$i\in I$，和任意 $V,W\in \tau _{i}$ 有： ${f_{i}}^{-1}(V\cap W)={f_{i}}^{-1}(V)\cap {f_{i}}^{-1}(W)$ 这样，因为 $V\cap W\in \tau _{i}$ ，所以： ${f_{i}}^{-1}(V)\cap {f_{i}}^{-1}(W)\in {\mathcal {B}}$ 根据以上所述， ${\mathcal {B}}$ 的确是 $X$ 的拓扑基。 另外，对任意 $X$ 上的拓扑 $\tau$ 来说，“对所有 $i\in I$ ， $f(i)$ 为 $\tau$ - $\tau _{i}$ 连续”等价于： “对所有 $i\in I$ ，和所有 $O\in \tau _{i}$ ， ${f_{i}}^{-1}(O)\in \tau$” 也就等价于： ${\mathcal {B}}\subseteq \tau$ 这样根据拓扑基的性质(1)，$\tau _{\mathcal {F}}$ 就是 ${\mathcal {B}}$ 所生成的拓扑，至此本定理得证。$\Box$

上述拓扑基 ${\mathcal {B}}$ 里的元素通常被称为圆柱集合（cylinder set）。

实例

• 子空间拓扑是在子空间上，关于包含映射的初拓扑。
• 积拓扑是关于一族投影映射的初拓扑。
• 局部凸拓扑向量空间的弱拓扑是关于映射至其对偶空间的连续线性算子的初拓扑。

性质

特征性质

给出任意拓扑空间$Z$，X上的初拓扑依照上面所给的定义。则有以下性质成立：
从$Z$到$X$的映射$g$是连续的，当且仅当 $f_{i}\circ g$ 是连续的。

从闭集分离点

称$f_{i}:X\rightarrow Y_{i}$从闭集分离点，如果$X$中任意闭集$A$，与任意不属于$A$的点$x$，$\exists i\in I$，使得
$f_{i}(x)\notin \operatorname {cl} (f_{i}(A))$
这里的cl是闭包算子。

关于初拓扑有如下定理：
一族连续映射从闭集分离点，当且仅当the cylinder sets构成集合$X$的一个基。

从这个定理可以得到，如果$X$上有一族连续映射从闭集分离点，那么关于这族映射就存在一个初拓扑。反之是不成立的，因为初拓扑是由$f^{-1}(U)$为子基生成的拓扑，在这个定理中要求the cylinder sets是集合$X$的一个基。

参考资料

• Willard, Stephen. General Topology. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. 1970. ISBN 0-486-43479-6. 
• Initial topology. PlanetMath. 
• Product topology and subspace topology. PlanetMath.