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布萊克-休斯模型

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「Black-Scholes Model」的各地常用譯名
中國大陸布萊克-舒爾斯模型
臺灣布萊克-休斯模型

布萊克-休斯模型(英語:Black-Scholes Model),簡稱BS模型,是一種為金融衍生產品中的期權定價的數學模型,由美國經濟學家麥倫·休斯費雪·布萊克首先提出。此模型適用於沒有派發股息的歐式期權。羅伯特·C·墨頓其後修改了數學模型,使其於有派發股息時亦可使用,新模型被稱為布萊克-休斯-墨頓模型(英語:Black–Scholes–Merton model)。

此模型的應用是透過買賣價格過高或是過低的期權,並同時與持有的資產對沖,來消除可能潛在的風險,並因此而套利。此方法也被稱為「動態 Delta中性」。此公式問世後帶來了期權市場的繁榮,並且也是在投資銀行與對沖基金中被廣為使用的基礎模型。

雖然在很多情況下被使用者進行一定的改動和修正。很多經驗測試表明這個公式足夠貼近市場價格,然而也有會出現差異的時候,如著名的「波動率的微笑英語Volatility smile」。然而它假設價格的變動,會符合常態分配(即俗稱的鐘形曲線),但在金融市場上經常出現符合統計學厚尾現象的事件,這影響此公式的有效性。

1997年,麥倫·休斯羅伯特·C·墨頓借該模型獲得諾貝爾經濟學獎費雪·布萊克不幸在1995年離世,因此未能獲獎。

重要假設

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BS模型假設金融市場存在最少一種風險資產(如股票)及一種無風險資產(現金債券)。

假設金融資產是:

假設金融市場是:

此外,假設期權是歐式期權,即只可在特定日期行權。

數學模型

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符號

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V(S,t):歐式期權的理論價格
C(S,t):認購期權的價格
P(S,t):認沽期權的價格
ln():自然對數
K:交割價格
S:即期價格(Spot)
τ:有效期
T:到期日
t:時間,以年為單位,例如0.5代表6個月
r:連續複利計無風險利率
:年度化變異數
N():常態分佈變數的累積分佈函數

布萊克-休斯方程

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對於有效期內不派發紅利的歐式期權,其價格遵從以下偏微分方程

把方程重寫成左右兩邊:

左方代表期權的時間值及與即期價格的凸性英語Convexity (finance)。右方代表期權長倉的無風險回報及股相關資產短倉。

求解過程會轉換成為一個熱傳導方程式

公式

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利用以下約束條件,可解認購期權(Call Option)的理論值。

認購期權的理論價格是:

其中:

利用相同的方法,也可解認沽期權的理論價格:

認購期權及認沽期權的理論價格都包含 ,把交割價格K以連續複利折算為現值。

派發股息的期權定價模型

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布萊克-休斯模型假定在期權有效期內標的股票不派發股息。若派發股息需改用布萊克-休斯-墨頓模型,其公式如下:

其中:

k:表示標的股票的年股息收益率(假設股息連續支付,而不是離散分期支付)
Ln:自然對數
C:期權初始合理價格;
L:期權交割價格;
S:交易所金融資產現價;
T:期權有效期;
r:連續複利計無風險利率H;
:年度化變異數
N():正態分佈變數的累積分佈函數

關聯項目

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外部連結

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