根值審斂法

根值審斂法（Root test）是判別正項級數斂散性的一種方法，又叫做柯西判別法。方法是分析第$n$項的絕對值的$n$次方根的上極限與1的大小關係。

定理

根值審斂法判斷流程表

設$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$是要判斷審斂性的級數，令

$C={\overline {\lim _{n\rightarrow \infty }}}{\sqrt[{n}]{\left\vert a_{n}\right\vert }}=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{\left\vert a_{n}\right\vert }},$

• 當$\,C<1\,$時級數絕對收斂（當然同時也收斂）
• 當$\,C>1\,$或$\,C=\infty \,$時級數發散
• 當$\,C=1\,$ 時級數可能收斂也可能發散。

證明：

當$\,C<1\,$時，取$\,q\in (C,1)$，由上極限的定義，$\left\{{\sqrt[{n}]{\left\vert a_{n}\right\vert }}\right\}\,$應當有收斂於$\,C\,$的子列$\,\left\{{\sqrt[{n_{k}}]{\left\vert a_{n_{k}}\right\vert }}\right\}\,$，由極限的保序性，$\,\exists N\in \mathbb {N}$，使$\,n>N\,$時，${\sqrt[{n}]{\left\vert a_{n}\right\vert }}<q\,$（否則，總可以取出極限不比$\,q\,$小的子列，和$\,C\,$的定義矛盾）。因而，$n>N\,$時，有$\,\left\vert a_{n}\right\vert <q^{n}\,$，又因為$\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{n}q^{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }q{\frac {1-q^{n}}{1-q}}={\frac {q}{1-q}}\,$是收斂的，由比較審斂法，$\,\sum _{n=1}^{\infty }\left\vert a_{n}\right\vert \,$收斂，即$\,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,$絕對收斂。 當$\,C>1\,$或$\,C=\infty \,$時，取子列$\,\left\{{\sqrt[{n_{k}}]{\left\vert a_{n_{k}}\right\vert }}\right\}\,$，從而$\,\exists K\in \mathbb {N} \,$，使得$\,k>K\,$時，$\,\left\vert a_{n_{k}}\right\vert >{\sqrt[{n_{k}}]{a_{n_{k}}}}>1$。這意味着$\,\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}\neq 0\,$，根據通項極限判別法，級數$\,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,$是發散的。 例：${\overline {\lim _{n\rightarrow \infty }}}{\sqrt[{n}]{\frac {1}{n}}}={\overline {\lim _{n\rightarrow \infty }}}{\sqrt[{n}]{\frac {1}{n^{2}}}}=1\,$，但$\,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\,$發散，而$\,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}\,$。

參見

• 比值審斂法
• 比較審斂法