根值审敛法

根值审敛法（Root test）是判别正项级数敛散性的一种方法，又叫做柯西判别法。方法是分析第$n$项的绝对值的$n$次方根的上极限与1的大小关系。

定理

根值审敛法判断流程表

设$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$是要判断审敛性的级数，令

$C={\overline {\lim _{n\rightarrow \infty }}}{\sqrt[{n}]{\left\vert a_{n}\right\vert }}=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{\left\vert a_{n}\right\vert }},$

• 当$\,C<1\,$时级数绝对收敛（当然同时也收敛）
• 当$\,C>1\,$或$\,C=\infty \,$时级数发散
• 当$\,C=1\,$ 时级数可能收敛也可能发散。

证明：

当$\,C<1\,$时，取$\,q\in (C,1)$，由上极限的定义，$\left\{{\sqrt[{n}]{\left\vert a_{n}\right\vert }}\right\}\,$应当有收敛于$\,C\,$的子列$\,\left\{{\sqrt[{n_{k}}]{\left\vert a_{n_{k}}\right\vert }}\right\}\,$，由极限的保序性，$\,\exists N\in \mathbb {N}$，使$\,n>N\,$时，${\sqrt[{n}]{\left\vert a_{n}\right\vert }}<q\,$（否则，总可以取出极限不比$\,q\,$小的子列，和$\,C\,$的定义矛盾）。因而，$n>N\,$时，有$\,\left\vert a_{n}\right\vert <q^{n}\,$，又因为$\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{n}q^{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }q{\frac {1-q^{n}}{1-q}}={\frac {q}{1-q}}\,$是收敛的，由比较审敛法，$\,\sum _{n=1}^{\infty }\left\vert a_{n}\right\vert \,$收敛，即$\,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,$绝对收敛。 当$\,C>1\,$或$\,C=\infty \,$时，取子列$\,\left\{{\sqrt[{n_{k}}]{\left\vert a_{n_{k}}\right\vert }}\right\}\,$，从而$\,\exists K\in \mathbb {N} \,$，使得$\,k>K\,$时，$\,\left\vert a_{n_{k}}\right\vert >{\sqrt[{n_{k}}]{a_{n_{k}}}}>1$。这意味着$\,\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}\neq 0\,$，根据通项极限判别法，级数$\,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,$是发散的。 例：${\overline {\lim _{n\rightarrow \infty }}}{\sqrt[{n}]{\frac {1}{n}}}={\overline {\lim _{n\rightarrow \infty }}}{\sqrt[{n}]{\frac {1}{n^{2}}}}=1\,$，但$\,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\,$发散，而$\,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}\,$。

参见

• 比值审敛法
• 比较审敛法