鞍點

鞍點（英語：Saddle point）指一個非局部極值點的駐點。鞍點這詞語來自於不定二次型 $x^{2}-y^{2}\,$ 的二維圖形，像個馬鞍：在x-軸方向往上曲，在y-軸方向往下曲。

數學描述

廣義而說，一個光滑函數（曲線、曲面或超曲面）的鞍點鄰域的曲線、曲面或超曲面，都位於馬鞍點點的切線的不同邊。

檢驗二元實函數F(x,y)的駐點是不是鞍點的一個簡單的方法，是計算函數在這個點的黑塞矩陣：如果該矩陣行列式小於0，則該點就是鞍點。例如，函數 $z=x^{2}-y^{2}$ 在駐點 $(0,0)$ 的黑塞矩陣是：

{\begin{bmatrix}2&0\\0&-2\\\end{bmatrix}}

此矩陣有兩個特徵值2，－2。它的行列式小於0，因此，這個點是鞍點。然而，這個條件只是充分條件，例如，對於函數 $z=x^{4}-y^{4},$ 點 $(0,0)$ 是一個鞍點，但函數在原點的黑塞矩陣是零矩陣，並不小於0。

對於一般的多元函數，點是鞍點的必要條件是該點的黑塞矩陣不定。

在一維空間裏，鞍點是駐點，也是反曲點。因為函數圖形在鞍點由凸轉凹，或由凹轉凸，鞍點不是區域性極點。

設一個只有一個變數的函數。這函數在鞍點的一次導數等於零，二次導數換正負符號·例如，函數 $y=x^{3}\,$ 就有一個鞍點在原點。

設一個擁有兩個以上變數的函數。它的曲面在鞍點好像一個馬鞍，在某些方向往上曲，在其他方向往下曲。在一幅等高線圖裏，一般來說，當兩個等高線圈圈相交叉的地點，就是鞍點。例如，兩座山中間的山口就是一個鞍點。

Gray,, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L.; Frank, David H; Fristedt, Bert, Calculus two: linear and nonlinear functions, Berlin: Springer-Verlag: page 375, 1990, ISBN 0-387-97388-5
Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan, Geometry and the Imagination 2nd, New York: Chelsea, 1952, ISBN 978-0-8284-1087-8
von Petersdorff, Tobias, Critical Points of Autonomous Systems, Differential Equations for Scientists and Engineers (Math 246 lecture notes), 2006, （原始內容存檔於2007-01-03）
Widder, D. V., Advanced calculus, New York: Dover Publications: page 128, 1989, ISBN 0-486-66103-2