并矢积

在数学特别是双线性代数中，有同样维度的两个向量 $\mathbf {u}$ 和 $\mathbf {v}$ 的并矢积

\mathbb {P} =\mathbf {u} \otimes \mathbf {v}

是这些向量的张量积，而结果是阶为 2 的张量。

分量

关于选定的基 $\{\mathbf {e} _{i}\}$ ，并矢积 $\mathbb {P} =\mathbf {u} \otimes \mathbf {v}$ 的分量 $P_{ij}$ 可以定义为

P_{ij}=u_{i}v_{j}

,

这里的

\mathbf {u} =\sum _{i}u_{i}\mathbf {e} _{i}

,

\mathbf {v} =\sum _{j}v_{j}\mathbf {e} _{j}

,

而

\mathbb {P} =\sum _{i,j}P_{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}

.

并矢积可以简单的表示为通过列向量 $\mathbf {u}$ 乘以行向量 $\mathbf {v}$ 的方块矩阵。例如，

\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} \rightarrow {\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&u_{1}v_{3}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&u_{2}v_{3}\\u_{3}v_{1}&u_{3}v_{2}&u_{3}v_{3}\end{bmatrix}},

这里的箭头指示这只是并矢积关于特定基的特定表示。在这种表示中，并矢积是克罗内克积的特殊情况。