並矢積

在數學特別是雙線性代數中，有同樣維度的兩個向量 $\mathbf {u}$ 和 $\mathbf {v}$ 的並矢積

\mathbb {P} =\mathbf {u} \otimes \mathbf {v}

是這些向量的張量積，而結果是階為 2 的張量。

分量

關於選定的基 $\{\mathbf {e} _{i}\}$ ，並矢積 $\mathbb {P} =\mathbf {u} \otimes \mathbf {v}$ 的分量 $P_{ij}$ 可以定義為

P_{ij}=u_{i}v_{j}

,

這裡的

\mathbf {u} =\sum _{i}u_{i}\mathbf {e} _{i}

,

\mathbf {v} =\sum _{j}v_{j}\mathbf {e} _{j}

,

而

\mathbb {P} =\sum _{i,j}P_{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}

.

並矢積可以簡單的表示為通過列向量 $\mathbf {u}$ 乘以行向量 $\mathbf {v}$ 的方塊矩陣。例如，

\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} \rightarrow {\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&u_{1}v_{3}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&u_{2}v_{3}\\u_{3}v_{1}&u_{3}v_{2}&u_{3}v_{3}\end{bmatrix}},

這裡的箭頭指示這只是並矢積關於特定基的特定表示。在這種表示中，並矢積是克羅內克積的特殊情況。