第一价格密封拍卖

第一价格密封拍卖（英语：FPSBA）是拍卖的一个常见类型，属于盲拍（英语：blind auction）的一种。所有竞拍者同时提交密封的出价，没有人知道其他人的出价。出价最高者将以他们出的价格获得拍卖品。

策略分析

在FPSBA中，每个出价者对拍卖品的估价是影响其出价的重要因素。

假设Alice是一位竞拍者，她的估价是a。那么，如果Alice是理性的，就有以下结论：

• Alice不可能出大于a的价格，这样只会让她的净收益变为负数。
• 如果Alice的出价恰好为a，那么她的净收益必定为零。
• 如果Alice的出价小于a，她可能会获得正的净收益，但这取决于其他人是否出比她更高的价格。

Alice想要出一个能让她赢得拍卖品的最小价格，并且这个价格小于a。例如，如果有另一个竞拍者Bob，他的出价$y$满足$y<a$，那么Alice就会出价$y+\varepsilon$（其中$\varepsilon$是她最低可以加的价格，例如1分钱）。

然而，Alice无从知晓其他竞拍者出的价，她更不知道其他人的估价如何。所以，这是一个贝叶斯博弈——每个参与者无法完全得知其他参与者的收益函数。

即使只有两位参与者，要求得这类博弈的纳什均衡也不容易。一个简化的情形是，所有参与者的估价是独立同分布的，即所有参与者的估价都满足同一个概率分布。

举例

设两个竞拍者Alice和Bob的估价分别是a和b，且这两个值满足[0,1]上的连续型均匀分布。那么，这个贝叶斯博弈的纳什均衡为每个竞拍者都选择自己估价的一半：Alice出价$a/2$，Bob出价$b/2$。

证明：以下从Alice的角度讨论。假定她已知Bob的出价是$f(b)=b/2$，但她不知道$b$等于多少，我们来求Alice的最佳策略。假设Alice出价$x$，那么有两种情况：

• $x\geq f(b)$，此时Alice赢得拍卖品，净收益是$a-x$。这种情况发生的概率是$f^{-1}(x)=2x$。
• $x<f(b)$，此时Alice未赢得拍卖品，净收益为0。这种情况发生的概率是$1-f^{-1}(x)$。

因此，Alice的预期收益是$G(x)=f^{-1}(x)\cdot (a-x)$。当$G'(x)=0$时预期收益取到最大值，其中$G'(x)$为：

$G'(x)=-f^{-1}(x)+(a-x)\cdot {1 \over f'(f^{-1}(x))}$

当Alice的出价$x$满足以下条件时导数为零：

$f^{-1}(x)=(a-x)\cdot {1 \over f'(f^{-1}(x))}$

现在，因为纳什均衡显然是对称的，Alice的出价$x$也等于$f(a)$。于是有：

$f^{-1}(f(a))=(a-f(a))\cdot {1 \over f'(f^{-1}(f(a)))}$

$a=(a-f(a))\cdot {1 \over f'(a)}$

$af'(a)=(a-f(a))$

解得$f(a)=a/2$。

一般情形

考虑所有的FPSBA。记：

• $v_{i}$为第$i$位竞拍者的估价；
• $y_{i}$为除第$i$位竞拍者以外的最大估价，即$y_{i}=\max _{j\neq i}{v_{j}}$。

FPSBA有一个对称纳什均衡，即第$i$位竞拍者出价：

$E[y_{i}|y_{i}<v_{i}]$

与第二价格密封拍卖的比较

下表列出了FPSBA和第二价格密封拍卖（SPSBA）的共同点和不同点：

拍卖种类	第一价格	第二价格
胜出方	出价最高者	出价最高者
胜出方支出	出价最高的价格	出价第二高的价格
未胜出方支出	0	0
支配性策略	无	估价多少，出价多少
贝叶斯纳什均衡	第$i$位参与者出价${\frac {n-1}{n}}v_{i}$	第$i$位出价$v_{i}$
拍卖商的收入	${\frac {n-1}{n+1}}$	${\frac {n-1}{n+1}}$

拍卖商的收入是用上述样例计算的，其中每个参与者的估价独立均匀地随机分布在[0,1]中。不妨设$n=2$：

• 在第一价格密封拍卖中，拍卖商获得两人出价中较大者，即$\max(a/2,b/2)$。
• 在第二价格密封拍卖中，拍卖商获得两人估价中较小者，即$\min(a,b)$。

以上两种情况中，拍卖商的预期收入都是1/3。

两种拍卖的预期收入相同并不是一个巧合，而是因为它们是收益等价定理的特例，在每个参与者估价都独立的情况下这条规则成立。如果估价不独立，则变为共同价值拍卖，此时拍卖商在第二价格密封拍卖中的收入大于第一价格密封拍卖。

外部链接

• Nash equilibrium in first price auction - in math.stackexchange.com.