第一價格密封拍賣

第一價格密封拍賣（英語：FPSBA）是拍賣的一個常見類型，屬於盲拍（英語：blind auction）的一種。所有競拍者同時提交密封的出價，沒有人知道其他人的出價。出價最高者將以他們出的價格獲得拍賣品。

策略分析

在FPSBA中，每個出價者對拍賣品的估價是影響其出價的重要因素。

假設Alice是一位競拍者，她的估價是a。那麼，如果Alice是理性的，就有以下結論：

• Alice不可能出大於a的價格，這樣只會讓她的淨收益變為負數。
• 如果Alice的出價恰好為a，那麼她的淨收益必定為零。
• 如果Alice的出價小於a，她可能會獲得正的淨收益，但這取決於其他人是否出比她更高的價格。

Alice想要出一個能讓她贏得拍賣品的最小价格，並且這個價格小於a。例如，如果有另一個競拍者Bob，他的出價$y$滿足$y<a$，那麼Alice就會出價$y+\varepsilon$（其中$\varepsilon$是她最低可以加的價格，例如1分錢）。

然而，Alice無從知曉其他競拍者出的價，她更不知道其他人的估價如何。所以，這是一個貝葉斯博弈——每個參與者無法完全得知其他參與者的收益函數。

即使只有兩位參與者，要求得這類博弈的納什均衡也不容易。一個簡化的情形是，所有參與者的估價是獨立同分布的，即所有參與者的估價都滿足同一個概率分布。

舉例

設兩個競拍者Alice和Bob的估價分別是a和b，且這兩個值滿足[0,1]上的連續型均勻分布。那麼，這個貝葉斯博弈的納什均衡為每個競拍者都選擇自己估價的一半：Alice出價$a/2$，Bob出價$b/2$。

證明：以下從Alice的角度討論。假定她已知Bob的出價是$f(b)=b/2$，但她不知道$b$等於多少，我們來求Alice的最佳策略。假設Alice出價$x$，那麼有兩種情況：

• $x\geq f(b)$，此時Alice贏得拍賣品，淨收益是$a-x$。這種情況發生的概率是$f^{-1}(x)=2x$。
• $x<f(b)$，此時Alice未贏得拍賣品，淨收益為0。這種情況發生的概率是$1-f^{-1}(x)$。

因此，Alice的預期收益是$G(x)=f^{-1}(x)\cdot (a-x)$。當$G'(x)=0$時預期收益取到最大值，其中$G'(x)$為：

$G'(x)=-f^{-1}(x)+(a-x)\cdot {1 \over f'(f^{-1}(x))}$

當Alice的出價$x$滿足以下條件時導數為零：

$f^{-1}(x)=(a-x)\cdot {1 \over f'(f^{-1}(x))}$

現在，因為納什均衡顯然是對稱的，Alice的出價$x$也等於$f(a)$。於是有：

$f^{-1}(f(a))=(a-f(a))\cdot {1 \over f'(f^{-1}(f(a)))}$

$a=(a-f(a))\cdot {1 \over f'(a)}$

$af'(a)=(a-f(a))$

解得$f(a)=a/2$。

一般情形

考慮所有的FPSBA。記：

• $v_{i}$為第$i$位競拍者的估價；
• $y_{i}$為除第$i$位競拍者以外的最大估價，即$y_{i}=\max _{j\neq i}{v_{j}}$。

FPSBA有一個對稱納什均衡，即第$i$位競拍者出價：

$E[y_{i}|y_{i}<v_{i}]$

與第二價格密封拍賣的比較

下表列出了FPSBA和第二價格密封拍賣（SPSBA）的共同點和不同點：

拍賣種類	第一價格	第二價格
勝出方	出價最高者	出價最高者
勝出方支出	出價最高的價格	出價第二高的價格
未勝出方支出	0	0
支配性策略	無	估價多少，出價多少
貝葉斯納什均衡	第$i$位參與者出價${\frac {n-1}{n}}v_{i}$	第$i$位出價$v_{i}$
拍賣商的收入	${\frac {n-1}{n+1}}$	${\frac {n-1}{n+1}}$

拍賣商的收入是用上述樣例計算的，其中每個參與者的估價獨立均勻地隨機分布在[0,1]中。不妨設$n=2$：

• 在第一價格密封拍賣中，拍賣商獲得兩人出價中較大者，即$\max(a/2,b/2)$。
• 在第二價格密封拍賣中，拍賣商獲得兩人估價中較小者，即$\min(a,b)$。

以上兩種情況中，拍賣商的預期收入都是1/3。

兩種拍賣的預期收入相同並不是一個巧合，而是因為它們是收益等價定理的特例，在每個參與者估價都獨立的情況下這條規則成立。如果估價不獨立，則變為共同價值拍賣，此時拍賣商在第二價格密封拍賣中的收入大於第一價格密封拍賣。

外部連結

• Nash equilibrium in first price auction - in math.stackexchange.com.