二进分数

从0到1的二进分数。

二进分数，也称为二进有理数，是一种分母是2的幂的分数。可以表示成${\frac {a}{2^{b}}}$，其中，$a$是一个整数，$b$是一个自然数。例如：${\frac {1}{2}}$，${\frac {3}{8}}$，而${\frac {1}{3}}$就不是。(英制单位中广泛采用二进分数，例如${\frac {3}{4}}$英寸，${\frac {1}{16}}$英寸，${\frac {1}{2}}$磅。)

所有二进分数组成的集合在实数轴上是稠密的：任何实数$x$都可以用形为$\lfloor 2^{i}x\rfloor /2^{i}$的二进分数无限逼近。与实数轴上的其它稠密集，例如有理数相比，二进分数是相对“小”的稠密集，这就是为什么它们有时出现在证明中（例如乌雷松引理）。

任何两个二进分数的和、积，与差也是二进分数：

${\frac {a}{2^{b}}}+{\frac {c}{2^{d}}}={\frac {2^{d-b}a+c}{2^{d}}}\quad (d\geq b)$

${\frac {a}{2^{b}}}-{\frac {c}{2^{d}}}={\frac {2^{d-b}a-c}{2^{d}}}\quad (d\geq b)$

${\frac {a}{2^{b}}}-{\frac {c}{2^{d}}}={\frac {a-2^{b-d}c}{2^{b}}}\quad (d<b)$

${\frac {a}{2^{b}}}\times {\frac {c}{2^{d}}}={\frac {a\times c}{2^{b+d}}}.$

但是，两个二进分数的商则一般不是二进分数。因此，二进分数形成了有理数$\mathbb {Q}$的一个子环。