闭图像定理

闭图像定理是数学中泛函分析的一条定理。

叙述

设$X$，$Y$为巴拿赫空间，$T:X\to Y$为线性算子。定义$T$的图像为$X\times Y$的子空间

$\Gamma (T)=\{(x,T(x))\in X\times Y\vert x\in X\}$。

赋予$X\times Y$范数$\|(x,y)\|_{X\times Y}=\|x\|_{X}+\|y\|_{Y}$，使得$X\times Y$成为巴拿赫空间。那么，这定理指$T$是连续的（与有界等价）当且仅当$\Gamma (T)$在$X\times Y$内是闭集。

证明

闭图像定理可以从开映射定理推导出来。

$\Gamma (T)$是闭集的充分必要条件是如果序列$\{(x_{n},y_{n})\}_{n}\subset \Gamma (T)$（即对任意$n$有$y_{n}=T(x_{n})$），而$(x_{n},y_{n})\to (x,y)$，那么$(x,y)\in \Gamma (T)$，$y=T(x)$。如果$T$是连续的，从连续性立刻可知$\Gamma (T)$是闭集，因为连续性是更强的条件：如果$x_{n}\to x$，则$T(x_{n})\to T(x)$。

如果$\Gamma (T)$是闭集，可以在$\Gamma (T)$定义线性算子

$\pi _{1}:\Gamma (T)\to X,\ (x,y)\mapsto x$，

$\pi _{2}:\Gamma (T)\to Y,\ (x,y)\mapsto y$。

显然$\|\pi _{2}(x,y)\|_{Y}=\|y\|_{Y}\leq \|(x,y)\|_{X\times Y}$，因此$\pi _{2}$是有界算子。

$\Gamma (T)$是巴拿赫空间$X\times Y$中的闭子空间，所以$\Gamma (T)$是巴拿赫空间。$X$也是巴拿赫空间，$\pi _{1}$是双射，从而由开映射定理的系可知，其逆$\pi _{1}^{-1}:X\to \Gamma (T)$为有界算子。

因为$T=\pi _{2}\circ \pi _{1}^{-1}$，故$T$也是有界的。

推论

从这定理可得出黑林格-特普利茨定理──希尔伯特空间上处处定义的对称线性算子是有界的。

泛函分析中的定理

阿尔泽拉-阿斯科利定理 • 贝尔纲定理 • 巴拿赫-阿劳格鲁定理 • 巴拿赫-马祖尔定理 • 开映射定理 • 一致有界性原理 • 闭图像定理 • 哈恩-巴拿赫定理 • 拉克斯-米尔格拉姆定理