麥克斯韋模型

麥克斯韋模型（英語：Maxwell model）是用於描述材料粘彈性的一種模型。麥克斯韋由一個純彈性的彈簧和一個純黏性的黏壺（阻尼器）串聯而成，其中的彈簧符合胡克定律，用於描述材料的彈性方面性質；而黏壺符合牛頓流體特徵，代表黏性方面性質。1867年，詹姆斯·麥克斯韋提出了這一模型，符合這一模型的流體也被稱為麥克斯韋流體。如果將彈簧和黏壺並聯，則被稱為開爾文-沃伊特模型。

定義

如下圖所示，麥克斯韋模型可以被表示為一個純黏性的黏壺（阻尼器）和一個純彈性的彈簧串聯而成的結構。按照這一設計，當模型受到軸向應力時，總應力、彈簧上應力和黏壺應力應該相等，而總應變應該等於兩者應變之和，即

$\sigma _{\mathrm {Total} }=\sigma _{D}=\sigma _{S}$

$\varepsilon _{\mathrm {Total} }=\varepsilon _{D}+\varepsilon _{S}$

此處的角標D表示黏壺（dashpot）而s表示彈簧（spring）。若將應變對時間求導，並考慮純彈性彈簧滿足胡克定律，純黏性黏壺為牛頓流體，就可以得到

${\frac {d\varepsilon _{\mathrm {Total} }}{dt}}={\frac {d\varepsilon _{D}}{dt}}+{\frac {d\varepsilon _{S}}{dt}}={\frac {\sigma }{\eta }}+{\frac {1}{E}}{\frac {d\sigma }{dt}}$

其中 E表示彈性模量而η是材料的黏度。

如果用上點表示變化速率，該式也可以寫作

${\frac {\dot {\sigma }}{E}}+{\frac {\sigma }{\eta }}={\dot {\varepsilon }}$

麥克斯韋模型通常用於小應變的情況，如果應變較大，會形成幾何上的非線性關係，需要進行擴展。

應力鬆弛

如果在麥克斯韋模型上施加一個突然的應變，並將該應變保持一段時間，測量其應力變化，就會發現應力隨時間增長呈現指數型衰減的特徵，這被稱為應力鬆弛。

The picture shows dependence of dimensionless stress ${\frac {\sigma (t)}{E\varepsilon _{0}}}$ upon dimensionless time ${\frac {E}{\eta }}t$:

如果我們放開該材料，那麼到 $t_{1}$時刻，其中的彈性部分可以完全回復如初，而黏性部分的應變不能完全恢復，可求得此時的應變為：

$\varepsilon _{\mathrm {back} }=-{\frac {\sigma (t_{1})}{E}}=\varepsilon _{0}\exp \left(-{\frac {E}{\eta }}t_{1}\right).$

其中不可恢復的應變為

$\varepsilon _{\mathrm {irreversible} }=\varepsilon _{0}\left(1-\exp \left(-{\frac {E}{\eta }}t_{1}\right)\right).$