在概率论 中, 对定义在相同样本空间[ 1] 随机变量
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
联合分布 是同时对于
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
概率分布 。
对离散随机变量 而言，联合分布概率质量函数 为
P
r
(
X
=
x
&
Y
=
y
)
{\displaystyle Pr(X=x\,\&\,Y=y)}
P
(
X
=
x
a
n
d
Y
=
y
)
=
P
(
Y
=
y
|
X
=
x
)
P
(
X
=
x
)
=
P
(
X
=
x
|
Y
=
y
)
P
(
Y
=
y
)
.
{\displaystyle P(X=x\;\mathrm {and} \;Y=y)\;=\;P(Y=y|X=x)P(X=x)=P(X=x|Y=y)P(Y=y).\;}
因为是概率分布函数，所以必须有
∑
x
∑
y
P
(
X
=
x
a
n
d
Y
=
y
)
=
1.
{\displaystyle \sum _{x}\sum _{y}P(X=x\ \mathrm {and} \ Y=y)=1.\;}
类似地，对连续随机变量 而言，联合分布概率密度函数 为
f
X
,
Y
(
x
,
y
)
{\displaystyle f_{X,Y}(x,y)}
f
Y
|
X
(
y
|
x
)
{\displaystyle f_{Y|X}(y|x)}
f
X
|
Y
(
x
|
y
)
{\displaystyle f_{X|Y}(x|y)}
X
=
x
{\displaystyle X=x}
Y
{\displaystyle Y}
条件分布 以及
Y
=
y
{\displaystyle Y=y}
X
{\displaystyle X}
f
X
(
x
)
{\displaystyle f_{X}(x)}
f
Y
(
y
)
{\displaystyle f_{Y}(y)}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
边缘分布 。
同样地，因为是概率分布函数，所以必须有
∫
x
∫
y
f
X
,
Y
(
x
,
y
)
d
y
d
x
=
1.
{\displaystyle \int _{x}\int _{y}f_{X,Y}(x,y)\;dy\;dx=1.}
对于两相互独立 的事件
P
(
X
)
{\displaystyle P(X)}
P
(
Y
)
{\displaystyle P(Y)}
x 和y 而言有离散随机变量
P
(
X
=
x
a
n
d
Y
=
y
)
=
P
(
X
=
x
)
⋅
P
(
Y
=
y
)
{\displaystyle \ P(X=x\ \mathrm {and} \ Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y)}
p
X
,
Y
(
x
,
y
)
=
p
X
(
x
)
⋅
p
Y
(
y
)
{\displaystyle \ p_{X,Y}(x,y)=p_{X}(x)\cdot p_{Y}(y)}
2元联合分布可以推广到任意多元的情况
X
1
,
…
,
X
n
{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}
f
X
1
,
…
,
X
n
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
f
X
n
|
X
1
,
…
,
X
n
−
1
(
x
n
|
x
1
,
…
,
x
n
−
1
)
f
X
1
,
…
,
X
n
−
1
(
x
1
,
…
,
x
n
−
1
)
.
{\displaystyle f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f_{X_{n}|X_{1},\ldots ,X_{n-1}}(x_{n}|x_{1},\ldots ,x_{n-1})f_{X_{1},\ldots ,X_{n-1}}(x_{1},\ldots ,x_{n-1}).}
^ Feller, William. An introduction to probability theory and its applications, vol 1, 3rd edition. 1957: 217–218. ISBN 978-0471257080（Eng） .
