多面體群

幾何學中，多面體群指柏拉圖立體的對稱群。

群

多面體群共三個：

• 12階四面體群，正四面體的旋轉對稱群。它與A₄同構。
  • T的共軛類是：
    • 恆等
    • 4 × 旋轉 120°，3階，順時針
    • 4 × 旋轉 120°，3階，逆時針
    • 3 × 旋轉 180°，2階
• 24階八面體群，立方體和正八面體的旋轉對稱群。它與S₄同構。
  • O的共軛類是：
    • 恆等
    • 6 × 圍繞頂點旋轉 ±90°，4階
    • 8 × 圍繞三角形中心旋轉 ±120°，3階
    • 3 × 圍繞頂點旋轉 180°，2階
    • 6 × 圍繞邊緣中點旋轉 180°，2階
• 60階二十面體群，正十二面體和正二十面體的旋轉對稱群。它與A₅同構。
  • I的共軛類是：
    • 恆等
    • 12 × 旋轉 ±72°，5階
    • 12 × 旋轉 ±144°，5階
    • 20 × 旋轉 ±120°，3階
    • 15 × 旋轉 180°，2階

對於全反射群，以上的對稱性加倍，分別為24、48、120階，分別有6、9 和15 個反射鏡面。八面體對稱群[4,3]可以看作是四面體對稱群 [3,3] 的6個反射鏡面和二面體群Dih₂[2,2] 的3個反射鏡面的併集。五角十二面體對稱性是四面體對稱性的另一種加倍。

完全四面體對稱的共軛類T_d≅S₄是：

• 恆等
• 8 × 旋轉 120°
• 3 × 旋轉 180°
• 6 × 通過兩個旋轉軸在平面內進行反映
• 6 × 旋轉-反映 90°

五角十二面體對稱性T_h的共軛類包括T的共軛類，其中兩個4階類組合在一起，並且每個類都具有反演：

• 恆等
• 8 × 旋轉 120°
• 3 × 旋轉 180°
• 反演
• 8 × 旋轉-反映 60°
• 3 × 平面反映

全八面體群O_h ≅ S₄ × C₂的共軛類是：

• 反演
• 6 × 旋轉-反映 90°
• 8 × 旋轉-反映 60°
• 垂直於 4 次軸的平面中的 3 × 反射
• 垂直於 2 次軸的平面中的 6 × 反射

完全二十面體對稱 I_h ≅ A₅ × C₂的共軛類 ，還包括每個具有反演的：

• 反演
• 12 × 旋轉-反映 108°， 10階
• 12 × 旋轉-反映 36°，10階
• 20 × 旋轉-反映 60°，6階
• 15 × 旋轉-反映，2 階

手性多面體群

手性多面體基團

名稱/熊夫利斯（Schönflies）記號 （軌型符號 )	考克斯特符號	階	抽象結構	旋轉軸 #度	圖表
					正交	立體
T(332)	[3,3]+	12	A4	4332
Th (3*2)	[4,3+]	24	A4 ×2	433*2
O (432)	[4,3]+	24	S4	344362
I (532)	[5,3]+	60	A5	65103152

全多面體群

全多面體群

熊夫利斯（Schönflies）記號 （軌型符號軌型符號)	考克斯特符號	階	抽象 結構	考克斯特數字（H）	鏡面 (h)	鏡像圖
						正交	立體
A3 Td (*332)	[3,3]	24	S4	4	6
B3 Oh (*432)	[4,3]	48	S4 ×2	8	3 6
H3 Ih (*532)	[5,3]	120	5 ×2	10	15

參見

• 威霍夫符號
• 球對稱群列表

參考文獻

• Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, 1973. (The Polyhedral Groups. §3.5, pp. 46–47)

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. PolyhedralGroup. MathWorld.