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多面體群

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幾何學中,多面體群柏拉圖立體對稱群

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多面體群共三個:

  • 12階四面體群正四面體的旋轉對稱群。它與A4同構。
    • T共軛類是:
      • 恆等
      • 4 × 旋轉 120°,3階,順時針
      • 4 × 旋轉 120°,3階,逆時針
      • 3 × 旋轉 180°,2階
  • 24階八面體群立方體正八面體的旋轉對稱群。它與S4同構。
    • O的共軛類是:
      • 恆等
      • 6 × 圍繞頂點旋轉 ±90°,4階
      • 8 × 圍繞三角形中心旋轉 ±120°,3階
      • 3 × 圍繞頂點旋轉 180°,2階
      • 6 × 圍繞邊緣中點旋轉 180°,2階
  • 60階二十面體群正十二面體正二十面體的旋轉對稱群。它與A5同構。
    • I的共軛類是:
      • 恆等
      • 12 × 旋轉 ±72°,5階
      • 12 × 旋轉 ±144°,5階
      • 20 × 旋轉 ±120°,3階
      • 15 × 旋轉 180°,2階

對於全反射群,以上的對稱性加倍,分別為24、48、120階,分別有6、9 和15 個反射鏡面。八面體對稱群[4,3]可以看作是四面體對稱群 [3,3] 的6個反射鏡面和二面體群Dih2[2,2] 的3個反射鏡面的併集。五角十二面體對稱性是四面體對稱性的另一種加倍。

完全四面體對稱的共軛類TdS4是:

  • 恆等
  • 8 × 旋轉 120°
  • 3 × 旋轉 180°
  • 6 × 通過兩個旋轉軸在平面內進行反映
  • 6 × 旋轉-反映 90°

五角十二面體對稱性Th的共軛類包括T的共軛類,其中兩個4階類組合在一起,並且每個類都具有反演:

  • 恆等
  • 8 × 旋轉 120°
  • 3 × 旋轉 180°
  • 反演
  • 8 × 旋轉-反映 60°
  • 3 × 平面反映

全八面體群OhS4 × C2的共軛類是:

  • 反演
  • 6 × 旋轉-反映 90°
  • 8 × 旋轉-反映 60°
  • 垂直於 4 次軸的平面中的 3 × 反射
  • 垂直於 2 次軸的平面中的 6 × 反射

完全二十面體對稱 IhA5 × C2的共軛類 ,還包括每個具有反演的:

  • 反演
  • 12 × 旋轉-反映 108°, 10階
  • 12 × 旋轉-反映 36°,10階
  • 20 × 旋轉-反映 60°,6階
  • 15 × 旋轉-反映,2 階

手性多面體群

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手性多面體基團

名稱/熊夫利斯(Schönflies)記號
軌型符號 )
考克斯特符號 抽象結構 旋轉軸
#
圖表
正交 立體
T(332) node_h2 3 node_h2 3 node_h2 [3,3]+ 12 A4 4332
Th
(3*2)
node 4 node_h2 3 node_h2 
node_c2 4 node_h2 3 node_h2  [4,3+]
24 A4 ×2 433*2node_c2 
O
(432)
node_h2 4 node_h2 3 node_h2  [4,3]+ 24 S4 344362
I
(532)
node_h2 5 node_h2 3 node_h2  [5,3]+ 60 A5 65103152

全多面體群

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全多面體群
熊夫利斯(Schönflies)記號
軌型符號軌型符號)
考克斯特符號 抽象
結構
考克斯特數字(H) 鏡面
(h)
鏡像圖
正交 立體
A3
Td
(*332)
node 3 node 3 node node_c1 3 node_c1 3 node_c1 
[3,3]
24 S4 4 6node_c1 
B3
Oh
(*432)
node 4 node 3 node node_c2 4 node_c1 3 node_c1 
[4,3]
48 S4 ×2 8 3node_c2 
6node_c1 
H3
Ih
(*532)
node 5 node 3 node 
node_c1 5 node_c1 3 node_c1 
[5,3]
120 5 ×2 10 15node_c1 

參見

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參考文獻

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  • Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, 1973. (The Polyhedral Groups. §3.5, pp. 46–47)

外部連結

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  • 埃里克·韋斯坦因. PolyhedralGroup. MathWorld.