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多面体群

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几何学中,多面体群柏拉图立体对称群

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多面体群共三个:

  • 12阶四面体群正四面体的旋转对称群。它与A4同构。
    • T共轭类是:
      • 恒等
      • 4 × 旋转 120°,3阶,顺时针
      • 4 × 旋转 120°,3阶,逆时针
      • 3 × 旋转 180°,2阶
  • 24阶八面体群立方体正八面体的旋转对称群。它与S4同构。
    • O的共轭类是:
      • 恒等
      • 6 × 围绕顶点旋转 ±90°,4阶
      • 8 × 围绕三角形中心旋转 ±120°,3阶
      • 3 × 围绕顶点旋转 180°,2阶
      • 6 × 围绕边缘中点旋转 180°,2阶
  • 60阶二十面体群正十二面体正二十面体的旋转对称群。它与A5同构。
    • I的共轭类是:
      • 恒等
      • 12 × 旋转 ±72°,5阶
      • 12 × 旋转 ±144°,5阶
      • 20 × 旋转 ±120°,3阶
      • 15 × 旋转 180°,2阶

对于全反射群,以上的对称性加倍,分别为24、48、120阶,分别有6、9 和15 个反射镜面。八面体对称群[4,3]可以看作是四面体对称群 [3,3] 的6个反射镜面和二面体群Dih2[2,2] 的3个反射镜面的并集。五角十二面体对称性是四面体对称性的另一种加倍。

完全四面体对称的共轭类TdS4是:

  • 恒等
  • 8 × 旋转 120°
  • 3 × 旋转 180°
  • 6 × 通过两个旋转轴在平面内进行反映
  • 6 × 旋转-反映 90°

五角十二面体对称性Th的共轭类包括T的共轭类,其中两个4阶类组合在一起,并且每个类都具有反演:

  • 恒等
  • 8 × 旋转 120°
  • 3 × 旋转 180°
  • 反演
  • 8 × 旋转-反映 60°
  • 3 × 平面反映

全八面体群OhS4 × C2的共轭类是:

  • 反演
  • 6 × 旋转-反映 90°
  • 8 × 旋转-反映 60°
  • 垂直于 4 次轴的平面中的 3 × 反射
  • 垂直于 2 次轴的平面中的 6 × 反射

完全二十面体对称 IhA5 × C2的共轭类 ,还包括每个具有反演的:

  • 反演
  • 12 × 旋转-反映 108°, 10阶
  • 12 × 旋转-反映 36°,10阶
  • 20 × 旋转-反映 60°,6阶
  • 15 × 旋转-反映,2 阶

手性多面体群

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手性多面体基团

名称/熊夫利斯(Schönflies)记号
轨型符号 )
考克斯特符号 抽象结构 旋转轴
#
图表
正交 立体
T(332) node_h2 3 node_h2 3 node_h2 [3,3]+ 12 A4 4332
Th
(3*2)
node 4 node_h2 3 node_h2 
node_c2 4 node_h2 3 node_h2  [4,3+]
24 A4 ×2 433*2node_c2 
O
(432)
node_h2 4 node_h2 3 node_h2  [4,3]+ 24 S4 344362
I
(532)
node_h2 5 node_h2 3 node_h2  [5,3]+ 60 A5 65103152

全多面体群

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全多面体群
熊夫利斯(Schönflies)记号
轨型符号轨型符号)
考克斯特符号 抽象
结构
考克斯特数字(H) 镜面
(h)
镜像图
正交 立体
A3
Td
(*332)
node 3 node 3 node node_c1 3 node_c1 3 node_c1 
[3,3]
24 S4 4 6node_c1 
B3
Oh
(*432)
node 4 node 3 node node_c2 4 node_c1 3 node_c1 
[4,3]
48 S4 ×2 8 3node_c2 
6node_c1 
H3
Ih
(*532)
node 5 node 3 node 
node_c1 5 node_c1 3 node_c1 
[5,3]
120 5 ×2 10 15node_c1 

参见

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参考文献

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  • Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, 1973. (The Polyhedral Groups. §3.5, pp. 46–47)

外部链接

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  • 埃里克·韦斯坦因. PolyhedralGroup. MathWorld.